(本小题满分14分)已知实系数一元二次方程 x 2 + px + q =0的两根分别为 x 1 , x 2 。(1)若上

1个回答

  • (1)根据“实系数方程虚根共

    轭成对出现”,知 x 2=4+ i ,……2分

    根据韦达定理,知 p =-( x 1+ x 2)=-8; q = x 1· x 2=17。 ……2分

    (2)①当△= p 2-4 q <0时,方程的两根为虚数,且

    ∴| x 1|=| x 2|=1,∴ q =1。∴ p =-( x 1+ x 2)=-2Re( x 1)∈[-2,2],

    又根据△= p 2-4 q <0,∴ p ∈(-2,2)。

    ……3分

    ②(法一)当△= p 2-4 q ≥0时,方程的两根为实数,

    (2-1)当 q >0时,方程的两根同号,∴| x 1|

    +| x 2|=| x 1+ x 2|=| p |=2,∴ p =±2;

    (2-2)当 q =0时,方程的一根为0,∴| x 1|+| x 2|=| x 1+ x 2|=| p |=2,∴ p =±2;

    (2-2)当 q <0时,方程的两根异号,∴| x 1|+| x 2|=| x 1- x 2|=2,

    ∴4=( x 1+ x 2) 2-4 x 1x 2= p 2-4 q ,∴ p 2=4+4 q ∈[0,4),∴ p ∈(-2,2)

    ∴当△≥0时, p ∈[-2,2]。……3分

    综上, p 的取值范围是[-2,2]。

    (法二)当△= p 2-4 q ≥0时,方程的两根为实数,

    ∴| p |=| x 1+ x 2|≤| x 1|+| x 2|=2,当 x 1与 x 2同号或有一个为0时等号取到。特别的,取 x 1=2, x 2=0时 p =-2;取 x 1 =-2, x 2=0时 p =2。

    ∴ p ∈[-2,2]。……3分

    综上, p 的取值范围是[-2,2]