(1)根据“实系数方程虚根共
轭成对出现”,知 x 2=4+ i ,……2分
根据韦达定理,知 p =-( x 1+ x 2)=-8; q = x 1· x 2=17。 ……2分
(2)①当△= p 2-4 q <0时,方程的两根为虚数,且
,
∴| x 1|=| x 2|=1,∴ q =1。∴ p =-( x 1+ x 2)=-2Re( x 1)∈[-2,2],
又根据△= p 2-4 q <0,∴ p ∈(-2,2)。
……3分
②(法一)当△= p 2-4 q ≥0时,方程的两根为实数,
(2-1)当 q >0时,方程的两根同号,∴| x 1|
+| x 2|=| x 1+ x 2|=| p |=2,∴ p =±2;
(2-2)当 q =0时,方程的一根为0,∴| x 1|+| x 2|=| x 1+ x 2|=| p |=2,∴ p =±2;
(2-2)当 q <0时,方程的两根异号,∴| x 1|+| x 2|=| x 1- x 2|=2,
∴4=( x 1+ x 2) 2-4 x 1x 2= p 2-4 q ,∴ p 2=4+4 q ∈[0,4),∴ p ∈(-2,2)
∴当△≥0时, p ∈[-2,2]。……3分
综上, p 的取值范围是[-2,2]。
(法二)当△= p 2-4 q ≥0时,方程的两根为实数,
∴| p |=| x 1+ x 2|≤| x 1|+| x 2|=2,当 x 1与 x 2同号或有一个为0时等号取到。特别的,取 x 1=2, x 2=0时 p =-2;取 x 1 =-2, x 2=0时 p =2。
∴ p ∈[-2,2]。……3分
综上, p 的取值范围是[-2,2]
略