Question

已知全集U=R，非空集合A={x|[x−2x−(3a+1)＜0}，B={x|x−a2−2/x−a]＜0}．命题p：x∈A

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）将a代入，化简集合A，B，由p真q假即求A∩（C_UB）；

（Ⅱ）由q是p的必要条件得到p⇒q，所以A⊆B由此得到集合端点的关系解之．

（Ⅰ）当a=[1/2]时，A={x|[x−2

x−

5/2＜0}={x|2＜x＜

5

2]}，B={x|

x−

9

4

x−

1

2＜0}={x|[1/2]＜x＜[9/4]}，

则C_UB={x|x≤[1/2]，或者x≥[9/4]}，若p真q假，则A∩C_UB={x|[9/4≤x＜

5

2]}．

所以a=[1/2]时，p真q假，x的取值范围是{x|[9/4≤x＜

5

2]}．

（Ⅱ）若q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B．---------（5分）

因为a²+2＞a，所以B={x|a＜x＜a²+2}．--------------（6分）

当3a+1＞2，即a＞[1/3]时，A={x|2＜x＜3a+1}，由A⊆B得

a≤2

a2+2≥3a+1，

解得[1/3]＜a≤

3−

5

2；--------------（8分）

当3a+1=2，即a=[1/3]时，A=∅，符合题意；

当3a+1＜2，即a＜[1/3]时，A={x|3a+1＜x＜2}，

由A⊆B得

a≤3a+1

a2+2≥2解得-[1/2]≤a＜[1/3]；--------------（10分）

综上，a∈{x|-[1/2]，

3−

5

2}．--------------（12分）

点评：

本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题考查了不等式的解法以及复合命题的运用，关键是由已知条件得到关于不等式端点的关系，同时考查了讨论的思想，属于中档题．