（1）∵四边形ABCO为矩形,
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°,AB=CO=8,AO=BC=10．
由题意,△BDC≌△EDC．
∴∠B=∠DEC=90°,EC=BC=10,ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．
∴∴AE=10﹣6=4,
设AD=x,则BD=ED=8﹣x,由勾股定理,得x2+42=（8﹣x）2,
解得,x=3,∴AD=3．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3,10）,C（8,0）,
∴,
解得
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．
（2）∵∠DEA+∠OEC=90°,∠OCE+∠OEC=90°,
∴∠DEA=∠OCE,
由（1）可得AD=3,AE=4,DE=5．
而CQ=t,EP=2t,∴PC=10﹣2t．
当∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC,
∴=,即=,
解得t=．
当∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC,
∴=,即=,
解得t=．
∴当t=或时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．
（3）假设存在符合条件的M、N点,分两种情况讨论：
①EC为平行四边形的对角线,由于抛物线的对称轴经过EC中点,若四边形MENC是平行四边形,那么M点必为抛物线顶点；
则：M（4,）；而平行四边形的对角线互相平分,那么线段MN必被EC中点（4,3）平分,则N（4,﹣）；
②EC为平行四边形的边,则ECMN,设N（4,m）,则M（4﹣8,m+6）或M（4+8,m﹣6）；
将M（﹣4,m+6）代入抛物线的解析式中,得：m=﹣38,此时 N（4,﹣38）、M（﹣4,﹣32）；
将M（12,m﹣6）代入抛物线的解析式中,得：m=﹣26,此时 N（4,﹣26）、M（12,﹣32）；
综上,存在符合条件的M、N点,且它们的坐标为：
①M1（﹣4,﹣32）,N1（4,﹣38）
②M2（12,﹣32）,N2（4,﹣26）
③M3（4,）,N3（4,﹣）．