Question

已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l 1 ；x+y+1=0和l 2 ：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线

Answer 1

解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，

此时与l ₁、l ₂的交点分别为A′（3，-4）或B′（3，-9），

截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意．

若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1．

解方程组

y=k(x-3)+1

x+y+1=0 得

A（

3k-2

k+1 ，-

4k-1

k+1 ）．

解方程组

y=k(x-3)+1

x+y+6=0 得

B（

3k-7

k+1 ，-

9k-1

k+1 ）．

由|AB|=5．

得（

3k-2

k+1 -

3k-7

k+1 ） ²+（-

4k-1

k+1 +

9k-1

k+1 ） ²=5 ²．

解之，得k=0，直线方程为y=1．

综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．

解法二：由题意，直线l ₁、l ₂之间的距离为d=

|1-6|

2 =

5

2

2 ，

且直线L被平行直线l ₁、l ₂所截得的线段AB的长为5，

设直线l与直线l ₁的夹角为θ，则sinθ=

5

2

2

5 =

2

2 ，故θ=45°．

由直线l ₁：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，

又由直线l过点P（3，1），故直线l的方程为：x=3或y=1．

解法三：设直线l与l ₁、l ₂分别相交A（x ₁，y ₁）、B（x ₂，y ₂），则x ₁+y ₁+1=0，x ₂+y ₂+6=0．

两式相减，得（x ₁-x ₂）+（y ₁-y ₂）=5．①

又（x ₁-x ₂） ²+（y ₁-y ₂） ²=25．②

联立①、②可得

x 1 - x 2 =5

y 1 - y 2 =0 或

x 1 - x 2 =0

y 1 - y 2 =5

由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°．

故所求的直线方程为x=3或y=1．