证明：已知实数集A非空.存在a属于A,不妨设a不是A的上界,另外,知存在b是A的上界,记a1= a,b1=b ,用a1 ,b1 的中点(a1+b1)/2 二等分[a1 ,b1 ],如果(a1+b1)/2属于B ,则取a2 =a1 ,b2 =(a1+b1)/2 ；如果(a1+b1)/2属于A ,则取a2 =（a1+b1)/2 ,b2 =b1 ；……如此继续下去,便得两串数列 .其中{an}属于A 单调上升有上界（例如b1 ）,{bn} 单调下降有下界（例如a1 ）并且bn -an= (b1-a1)/2 (n-->无穷） .由单调有界定理,知存在 r,使liman = r (n-->无穷）.由 lim（bn-an ）=0 有 liman+（bn-an ）= r (n-->无穷）
因为{bn}是A的上界,所以对任意x属于A ,有x无穷 ,x无穷）bn = r 所以 r是A的上界.
而 任意c>0由lim(n-->无穷）an = r知任意c>0知存在N,当n>N 有r-c