Question

半径为R的球O的截面BCD把球面面积分为两部分，截面圆O1的面积为12π，2OO1=R，BC是截面圆O1的直径，D是圆O

Answer 1

解题思路：（1）连OO₁，则OO₁⊥面BDC，利用OO₁∥AB，可得AB⊥面BCD，进而可证明CD⊥面ABD，即可证得平面ADC⊥平面ABD；

（2）AB⊥面BDC，要使V_A-BCD取最大，则需S_△BCD取最大；

（3）先证明面ABC⊥面BCD，在平面BDC中，作DE⊥BC于E，则DE⊥面ABC，由此可求D点到平面ABC的距离．

（1）证明：连OO₁，则OO₁⊥面BDC，△ABC中，OO₁∥AB，∴AB⊥面BCD．

∵CD在面BCD内，∴AB⊥DC

又由题意知BD⊥DC且AB∩BD=B，∴CD⊥面ABD

∵CD⊂面ACD，

∴平面ADC⊥平面ABD；

（2）∵R=2OO₁，S_圆O1=12π，∴O₁C=2

3．

在△O₁OC中，OO₁²+O₁C²=R²，∴R=4，OO₁=2

∵AB=2OO₁，∴AB=4

∵AB⊥面BDC，∴要使V_A-BCD取最大，则需S_△BCD取最大．

S_△BCD=[1/2]BD•CD≤[1/4(BD2+CD2)=

1

4BC2=12（当且仅当BD=CD时取“=”）

∴（S_△BCD）_max=12．

∴三棱锥A-BCD的体积最大值

1

3×12×4=16；

（3）由（1）可知AB⊥面BCD．

又∵AB⊂面ABC，∴面ABC⊥面BCD，

∵面ABC∩面BCD=BC，在平面BDC中，作DE⊥BC于E，则DE⊥面ABC，

又由题设当弧BD：弧DC=1：2时，可知∠BO₁D=60°，∠DO₁C=120°，

∴BD=2

3]，CD=6．

在Rt△BDC中，由BD•CD=BC•DE，可得DE＝

BD•CD

BC=

6

2，

故D点到平面ABC的距离为

6

2．

点评：

本题考点： 点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查点到面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．