Question

如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，P是斜边BC上的一个动点，PE⊥AB，PF⊥AC，连EF，D

Answer 1

（1）在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，由勾股定理得：BC=

22+22=2

2．

（2）DE=DF，DE⊥DF，

理由是：∵D为BC边上中点，△ABC是等腰直角三角形，

∴AD=[1/2]BC=BD，∠CAD=∠ABC=45°，

即∠FAD=∠EBD=45°，

∵PE⊥AB，PF⊥AC，

∴∠PEA=∠AFP=∠BAC=∠EAF=90°，

∴四边形AEPF是矩形，

∴AF=PE，

∵PE⊥AB，

∴∠PEB=90°，

∵∠B=45°

∴在等腰直角三角形BPE中：PE=BE=AF，

在△BDE和△ADF中，

BD=AD

∠B=∠FAD

BE=AF，

∴△BDE≌△ADF（SAS），

∴DE=DF．，∠BDE=∠ADF，

∵AB=AC，D为BC中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，

∴∠ADF+∠ADE=90°，

∴∠EDF=90°，

∴DE⊥DF，

（3）∵△BDE≌△ADF，

∴S_△BDE=S_△ADF，

∵S_{四边形AEDF}

=S△_△ADF++S_△ADE

=S_△BDE+S_△ADE

=S_△ADB

=[1/2]S_△ABC

=[1/2]×[1/2]AB×AC

=[1/2]×[1/2]×2×2

=2．

（4）EF的最小值是

2，

理由是：∵AE+AF=AE+BE=AC=2，

在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，

EF²=AE²+（2-AE）²=2（AE-1）²+2，

即当AE=1时，EF²的最小值是2，

即EF的最小值是

2．