Question

圆锥曲线方程已知椭圆的中心在原点,准线为x=正负4倍根号2,若直线X-根号2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦

Answer 1

设该椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1

准线x=a²/c=4√2

得a²=4√2c

a²＞c²

4√2c＞c²

c(c-4√2)＜0

得0＜c＜4√2

b²=a²-c²=4√2c-c²

该椭圆的方程为x²/(4√2c)+y²/(4√2c-c²)=1

将x=c代入椭圆方程,得

c²/(4√2c)+y²/(4√2c-c²)=1

得y²=(c³-8√2c²+32c)/4√2

将x=c代入x-√2y=0,得

c-√2y=0

得y=√2c/2,即y²=c²/2

(c³-8√2c²+32c)/4√2=c²/2

(c²-8√2c+32)/4√2=c/2

c²-10√2c+32=0

√Δ=√[(10√2)²-4•32]=6√2

c=(10√2±6√2)/2

c1=8√2,c2=2√2

0＜c＜4√2,则c=2√2,c²=8

a²=4√2c=16

b²=a²-c²=16-8=8

该椭圆的方程为x²/16+y²/8=1