Question

（本小题满分14分）如图，椭圆 （ a ＞ b ＞0）的一个焦点为 F (1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆 C

Answer 1

（1）椭圆 C 方程为

.（2）同解析

解法一：

（Ⅰ）由题设 a =2, c =1,从而 b ²= a ²- c ²=3,

所以椭圆 C 方程为

.

(Ⅱ)(i)由题意得 F (1,0), N (4,0).

设 A ( m,n ),则 B ( m ,- n )( n ≠ 0),

="1." ……①

AF 与 BN 的方程分别为： n ( x -1)-( m -1) y =0，

n ( x -4)-( m -4) y =0.

设 M ( x ₀, y ₀),则有 n ( x ₀-1)-( m -1) y ₀="0," ……②

n ( x ₀-4)+( m -4) y ₀="0," ……③

由②，③得

x ₀=

.

所以点 M 恒在椭圆 G 上.

(ⅱ)设 AM 的方程为 x = xy +1,代入

＝1得（3 t ²+4） y ²+6 ty -9=0.

设 A ( x ₁, y ₁), M （ x ₂， y ₂），则有：y ₁+y ₂=

| y ₁- y ₂|=

令3 t ²+4=λ(λ≥4),则

| y ₁- y ₂|＝

因为λ≥4，0<

| y ₁- y ₂|有最大值3，此时 AM 过点 F .

△ AMN 的面积 S _{△ AMN=}

解法二：

（Ⅰ）问解法一：

（Ⅱ）（ⅰ）由题意得 F (1,0), N (4,0).

设 A ( m , n ),则 B ( m ,- n )(n≠0),

……①

AF 与 BN 的方程分别为： n ( x -1)-( m -1) y ="0, " ……②

n ( x -4)-( m -4) y ="0, " ……③

由②，③得：当 ≠

. ……④

由④代入①，得

=1（ y≠ 0）.

当x=

时，由②，③得：

解得

与a≠0矛盾.

所以点M的轨迹方程为

即点M恒在锥圆C上.

（Ⅱ）同解法一.