Question

从椭圆 x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点F，且它的长轴端点A及短

Answer 1

解题思路：根据MF₁⊥x轴，AB∥OM，得到Rt△OMF₁∽Rt△ABO，从而得到比例线段：

M

F

1

BO

＝

O

F

1

AO

．再根据点M在椭圆上，求出M的纵坐标，得出MF₁=

b

2

a

，再结合AO=a，BO=b，OF₁=c，代入所得比例式，化简可得b=c，从而求出椭圆的离心率e．

（1）∵MF₁⊥x轴，AB∥OM，

∴Rt△OMF₁∽Rt△ABO⇒

MF1

BO＝

OF1

AO…（*）设点M（-c，y₁），代入椭圆方程

x2

a2+

y2

b2=1，

得

c2

a2+

y12

b2=1，解之得y₁=

b2

a（舍负），所以MF₁=

b2

a，

又∵AO=a，BO=b，OF₁=c，

∴将AO、BO、MF₁、OF₁的长代入（*）式，得

b2

a

b＝

c

a，

∴b=c，得到b²=c²，即a²-c²=c²，所以a²=2c²，

∴离心率e满足e²=[1/2]，可得e=

2

2（舍负）

即所求椭圆的离心率为

2

2．

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题结合一个特殊的椭圆，以求椭圆的离心率为载体，着重考查了椭圆的基本概念、余弦定理和基本不等式等知识点，属于中档题．