Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，边AC在直线l上，点F是直线l上的一个动点，过点B的⊙O与

Answer 1

（1）连接OB，OF，作OD⊥BC于D，如图1，

在△ABC中，

∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°，

∴AB=

AC2+BC2=5，

∵过点B的⊙O与直线l相切于点F，

∴OF⊥l，

∴四边形OFCD为矩形，

∴OD=CF=x，DC=OF=y，

∴BD=BC-DC=3-y，

在Rt△OBD中，OB=y，

∵BD²+OD²=OB²，

∴（3-y）²+x²=y²，

∴y=[1/6]x²+[3/2]；

（2）存在．

当⊙O与直线AB相切于B点，如图2，

连接OB，OF，作OD⊥BC于D，

∵AB与⊙O相切于B，

∴OB⊥AB，

∴∠ABO=90°，即∠ABC+∠DBO=90°，

而∠DBO+∠DOB=90°，

∴∠ABC=∠DOB，

∴Rt△ACB∽Rt△BDO，

∴[AB/OB]=[BC/OD]，即[5/y]=[3/x]，

∴y=[5/3]x，

∵y=[1/6]x²+[3/2]，

∴[1/6]x²+[3/2]=[5/3]x，

整理得x²-10x+9=0，解得x₁=1，x₂=9，

当⊙O与直线BC相切于B点，如图3，连接OB、OF，

∵BC与⊙O相切于B点，

而⊙O与直线l相切于点F，

∴CB=CF，

∴x=3，

综上所述，满足条件的x的值为1，3，9．