Question

已知数列{a n }满足：a 1 ＋ ＝n 2 ＋2n（其中常数λ＞0，n∈N*），

Answer 1

（1）当n＝1时，a ₁＝3；

当n≥2时，由a ₁＋

＝n ²＋2n，①

得

＝（n-1） ²＋2（n-1），②

①-②得：

＝2n＋1，

所以a _n＝（2n＋1）·λ ^n-1，（n≥2），

因为a ₁＝3，所以a _n＝（2n＋1）·λ ^n-1（n∈N*）。

（2）当λ＝4时，a _n＝（2n＋1）·4 ^n-1，

若存在a _r，a _s，a _t成等比数列，

则[（2r＋1）4 ^r-1] [（2t＋1）·4 ^t-1]＝（2s＋1） ²·4 ^2s-2，

整理得（2r＋1）（2t＋1） 4 ^{r＋t -2s}＝（2s＋1） ²，

由奇偶性知r＋t -2s＝0，

所以（2r＋1）（2t＋1）＝（r＋t＋1） ²，

即（r-t） ²＝0，

这与r≠t矛盾，

故不存在这样的正整数r，s，t，使得a _r，a _s，a _t成等比数列。

（3）S _n＝3＋5λ＋7λ ²＋…＋（2n＋1）λ ^n-1，

当λ＝1时，S _n＝3＋5＋7＋…＋（2n＋1）＝n ²＋2n；

当λ≠1时，S _n＝3＋5λ＋7λ ²＋…＋（2n＋1）λ ^n-1，

λS _n＝

，

，

要对任意n∈N*，都有（1-λ）S _n+λa _n≥2λ ⁿ恒成立，

①当λ=1时，左=（1-λ）S _n+λa _n=a _n=2n+1≥2，结论显然成立；

②当λ≠1时，

左=（1-λ）S _n+λa _n=

，

因此，对任意n∈N*，都有

恒成立，

当0＜λ＜1时，只要

对任意n∈N*恒成立，

只要有

，

因此，当0＜λ＜1时，结论成立；

当λ≥2时，

显然不可能对任意n∈N*恒成立；

当1＜λ＜2时，只要

对任意n∈N*恒成立，

只要有

即可，解得1≤λ≤

；

因此当1＜λ≤

时，结论成立；

综上可得，实数λ的取值范围为（0，

]。