解题思路：（1）依题意，易证AD⊥平面BCC1B1，利用面面垂直的性质定理即可证；
（2）取C1B1的中点E，连接A1E，ED，易证平面A1EC∥平面AB1D，利用面面平行的性质即可证得A1C∥平面AB1D．
证明：（1）∵ABC-A1B1C1为三棱柱，D是BC中点，AA1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
∴AA1⊥AD；
又AA1∥BB1，
∴AD⊥BB1；
又底面ABC为正三角形，D是BC中点，
∴AD⊥BC，而BC∩BB1=B，
∴AD⊥平面BCC1B1，
∵B1D⊂平面AB1D
∴平面AB1D⊥平面B1BCC1；
（2））取C1B1的中点E，连接A1E，ED，
则B1E∥DC，B1E=DC
∴四边形B1DCE为平行四边形，于是有B1D∥EC，又A1E∥AD，B1D∩AD=D，A1E∩EC=E，
∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C⊂平面A1EC，
∴A1C∥平面AB1D．
点评：
本题考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
考点点评： 本题考查直线与平面垂直的性质，考查面面平行的性质，（2）中证得平面A1EC1∥平面AB1D是关键，考查作图、推理与证明的逻辑思维能力，属于中档题．