已知数列an的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+···+an,A(n)=a2+a3···+an+1,C(n)=a3+

2个回答

  • 第二个A(n)应该是B(n)

    (1)∵对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,

    ∴B(n)-A(n)=C(n)-B(n),

    即an+1-a1=an+2-a2,亦即an+2-an+1=a2-a1=4.

    故数列{an}是首项为1,公差为4的等差数列,于是an=1+(n-1)×4=4n-3.

    (2)证明:(必要性):若数列{an}是公比为q的等比数列,对任意n∈N*,有an+1=anq.由an>0知,A(n),B(n),C(n)均大于0,于是

    B(n) :A(n)=(a2+a3+…+an+1 ):(a1+a2+…+an )

    =q(a1+a2+…+an):a1+a2+…+an

    =q,

    C(n):B(n)

    =(a3+a4+…+an+2):(a2+a3+…+an+1)

    =q(a2+a3+…+an+1):a2+a3+…+an+1

    =q,

    即B(n):A(n)=C(n):B(n)=q,

    ∴三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列;

    (充分性):若对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列,则

    B(n)=qA(n),C(n)=qB(n),

    于是C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)],即an+2-a2=q(an+1-a1),亦即an+2-qan+1=a2-qa1.

    由n=1时,B(1)=qA(1),即a2=qa1,从而an+2-qan+1=0.

    ∵an>0,

    ∴an+2:an+1=a2:a1=q.故数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列.

    综上所述,数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列