1.设u是矩阵A的特征值,A=P^（-1）BP,那么|uI-A|=|P^-1||uI-B||P|=0,所以u也是B的特征值.
2.设u1,u2,...,un是A的全部特征值,|uI-A|=(u-u1)(u-u2)...(u-un)
把u=0代入上式,得|A|=u1u2...un.
3.A与B相似,那么他们特征值全部相同,而特征值之和就是迹,所以迹也相等.
简单说明一下为什么特征值之和等于迹：因为
|uI-A|=(u-u1)(u-u2)...(u-un)是一个关于u的n次多项式,观察等式右边可知
u^（n-1）项的系数是 -(u1+u2+...+un)；观察等式左边,由行列式的定义,u^(n-1)的系数是 -(a11+a22+...+ann),所以∑aii =∑ui .
4.因为实对称阵就可以用正交矩阵对角化,也就是说
P'AP=D=QBQ',D是由特征值组成的对角阵,
P、Q是对应的正交阵,P'=P^(-1),Q'=Q^(-1)
从而Q'P'APQ=(PQ)'APQ=B,A与B合同.