Question

已知函数 f(x)=(a- 1 2 ) x 2 +lnx(a∈R) ．

Answer 1

（I）当a=1时， f(x)=

1

2 x 2 +lnx(x＞0) ，

f′(x)=x+

1

x

可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，

最小值为 f(1)=

1

2 ，

要使∃x ₀∈[1，e]使不等式f（x ₀）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，

故实数m的取值范围是 [

1

2 ，+∞)

（2）已知函数 f(x)=(a-

1

2 ) x 2 +lnx(a∈R) ．

若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，

等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，

即 (a-

1

2 ) x 2 +lnx-2ax＜0 恒成立．

设 g(x)=(a-

1

2 ) x 2 +lnx-2ax(x∈(1，+∞)) ．

即g（x）的最大值小于0. g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x )

（1）当 a≤

1

2 时， g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x )＜0 ，

∴ g(x)=(a-

1

2 ) x 2 +lnx-2ax(x∈(1，+∞)) 为减函数．

∴g（1）=-a-

1

2 ≤0

∴a≥-

1

2

∴

1

2 ≥a≥-

1

2

（2）a≥1时， g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x )＞0 ．

g(x)=(a-

1

2 ) x 2 +lnx-2ax(x∈(1，+∞)) 为增函数，

g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．

（3）当

1

2 ＜a＜1 时，g（x）在 (1，

1

2a-1 ) 上为减函数，在 (

1

2a-1 ，+∞) 上为增函数，

同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值范围是 [-

1

2 ，

1

2 ] ．