已知数列{an}的各项均为正数,且满足6Sn=an2+3an-4(n≥1,n∈N),数列{bn}的通项bn=2n+2(n

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  • 解题思路:(1)将n=1,n=2分别代入 6Sn=an2+3an-4,即可求得a1,a2

    (2)先求得数列{an}为等差数列,从而集合{x|x=an,n∈N*}∩{x|x=bn,n∈N*}中的元素从小到大依次排列得4,10,16,22,…,仍为等差数列,故可求通项公式为cn=6n-2,进而求和可得不等式,从而得解;

    (3)由(2)发现在数列{pn}中.但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…;再将n从从奇数与偶数进行分类讨论,从而可求数列{pn}的通项公式.

    (1)n=1时,6S1=a12+3a1-4,⇒a12-3a1-4=0⇒(a1-4)(a1+1)=0⇒a1=4或a1=-1(舍去),

    n=2时,6S2=a22+3a2-4⇒a22-3a2-28=0⇒a2=7或a2=-4(舍去)…2分

    (2)n≥2时,6Sn-1=an-12+3an-1-4,

    又6Sn=an2+3an-4两式相减得6an=an2-an-12+3an-3an-1⇒(an-an-1-3)(an+an-1)=0⇒an-an-1-3=0

    数列{an}为等差数列,an=4+3(n-1)=3n+1,bn=2n+2(n∈N*),

    集合{x|x=an,n∈N*}∩{x|x=bn,n∈N*}中的元素从小到大依次排列得4,10,16,22,…,仍为等差数列,

    ∵a2n-1=3(2n-1)+1=6n-2=bk=2k+2⇒k=3n-2即a2n-1=b3n-2,cn=a2n-1

    通项公式为cn=6n-2,不等式c1+c2+…+cn>1900,即3n2+n-1900>0⇒(3n+76)(n-25)>0

    ∴n>25,n∈N为所求.…8分

    (3)由(2)发现在数列{pn}中.但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…;

    ①任意n∈N*,设a2n-1=3(2n-1)+1=6n-2=bk=2k+2⇒k=3n-2即a2n-1=b3n-2

    ②假设a2n=6n+1=bk=2k+2⇒k=3n−

    1

    2∈N(矛盾)

    ∴b3k-2=2(3k-2)+2=6k-2=a2k-1b3k-1=2(3k-1)+2=6k,a2k=6k+1b3k=6k+2…12分∵6k-2<6k<6k+1<6k+2

    当k=1时,b1=a1=p1,b2=p2,a2=p3,b3=p4,…∴pn=

    6k−2(n=4k−3)

    6k(n=4k−2)

    6k+1(n=4k−1)

    6k+2(n=4k)…14分

    点评:

    本题考点: 数列与不等式的综合;分段函数的解析式求法及其图象的作法;等差数列的通项公式;等差关系的确定.

    考点点评: 本题考查利用数列的通项公式求数列的项、考查判断某项是否属于一个数列,发现其规律,从而写出通项形式、考查分类讨论的数学方法.