如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,BD是⊙O的直径,AD与BC交于点E,F在DA的延长线上,且BF=BE.

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  • 解题思路:(1)根据等腰三角形性质求出∠FBA=∠EBA=∠C,推出∠D=∠C=∠FBA,根据∠DAB=90°推出∠D+∠DBA=90°,求出∠ABD+∠FBA=90°,根据切线的判定推出即可.

    (2)连接OA,求出∠BOA=60°,求出AB长,求出BD、AD,求出OB,根据三角形的面积求出△ABD面积,即可求出△BAO面积,求出扇形BOA面积,即可求出答案.

    (1)BF与⊙O的位置关系是相切,

    理由是:∵∠D和∠C都对弧AB,

    ∴∠C=∠D,

    ∵BD是直径,

    ∴∠DAB=90°,

    ∴∠D+∠ABD=90°,

    ∴∠C+∠ABD=90°,

    ∵∠DAB=90°,

    ∴BA⊥EF,

    ∵BE=BF,

    ∴∠EBA=∠FBA,

    ∵AB=AC,

    ∴∠C=∠EBA=∠FBA,

    ∵∠C+∠ABD=90°(已证),

    ∴∠FBA+∠ABD=90°,

    ∴∠FBD=90°,

    ∵OB是半径,

    ∴BF是⊙O的切线,

    即BF与⊙O的位置关系是相切;

    (2)连接OA,

    ∵∠C=∠D=30°=∠FBA,

    ∴在Rt△ABF中,BF=6,AF=[1/2]BF=3,

    由勾股定理得AB=3

    3,

    在Rt△DBA中,∠D=30°,

    ∴BD=2AB=6

    3,OB=3

    3,∠BOA=2∠C=60°,

    ∵在Rt△ABD中,BD=6

    3,AB=3

    3,由勾股定理得:AD=9,

    又∵BO=OD,

    ∴根据等底同高的三角形的面积相等得出S△BOA=S△AOD=[1/2]S△ABD=[1/2]×[1/2]×3

    3×9=

    27

    3

    4,

    ∠BOA=2∠C=60°,

    ∴S阴影=S扇形OBA-S△OAB=

    60π×(3

    3)2

    360-

    27

    3

    4=[9π/2]-

    27

    3

    4.

    点评:

    本题考点: 切线的判定;圆周角定理;扇形面积的计算.

    考点点评: 本题考查了三角形面积,等腰三角形性质,勾股定理,扇形面积,圆周角定理等知识点的综合运用.