解题思路：（1）根据新的定义运算，先求出12与21的最小公倍数和最大公约数，5与15的最小公倍数和最大公约数，问题即可解决；
（2）根据整除的定义及公约数、最大公约数与最小公倍数之间的关系进行说明；
（3）由于运算“⊙”没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索范围，即根据6与x的最小公倍数不小于27+1，不大于27+6，由此即可得出答案．
（1）因为，12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84，3，
所以，12⊙21=84-3=81，
同样道理5⊙15=15-5=10；
（2）如果c整除a和b，那么c是a和b的公约数，则c整除a，b的最大公约数，显然c也整除a，b最小公倍数，
所以c整除最小公倍数与最大公约的差，即c整除a⊙b，
如果c整除a和a⊙b，由c整除a推知c整除a，b的最小公倍数，
再由c整除a⊙b推知，c整除a，b的最大公约数，而这个最大公约数整除b，
所以c整除b；
（3）因为6与x的最小公倍数不小于：27+1=28，不大于：27+6=33，
而28到33之间，只有30是6的倍数，
可见6和x的最小公倍数是30，
因此，它们的最大公约数是30-27=3，
由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”，
得到：30×3=6×x，
6x=90，
x=15，
所以x的值是15．
点评：
本题考点： 定义新运算．
考点点评： 解答此题的关键是，根据定义新运算，得出新的运算意义，再利用新的运算意义和运算方法，解答即可．