解题思路：（1）由已知得f′（x）=2x，x＞0，f（xn）=
x
n
2
，在点（xn，f（xn））处的切线方程为ln：y-
x
n
2
=2xn（x-xn），
x
n+1
＝
1/2
x
n
，n∈N*，由此能证明数列{xn}是以x1=1为首项，以q=
1
2]为公比的等比数列，通项公式为xn=
1
2
n−1
，n∈N*．
（2）由bn=
2n
2
n
利用错位相减法能求出b1+b2+b3+…+bn＜4恒成立．
（1）证明：∵函数f（x）=x2（x＞0），
∴f′（x）=2x，x＞0，f（xn）=xn2，
∴在点（xn，f（xn））处的切线的方程为ln：y-xn2=2xn（x-xn），
令y=0，得x=[1/2xn，
即它与x轴的交点为（
1
2xn，0），∴xn+1＝
1
2xn，n∈N*，
∵x1=1≠0，∴xn≠0，且
xn+1
xn＝
1
2]，n∈N*，
∴数列{xn}是以x1=1为首项，以q=[1/2]为公比的等比数列，
其通项公式为xn=[1
2n−1，n∈N*．
（2）由（1）知bn=
2n
2n，（n∈N*），
设Sn=b1+b2+b3+…+bn，
则Sn＝2×(
1/2)+4×(
1
2)2+…+2n•(
1
2)n，①
1
2Sn=2×(
1
2)2+4×(
1
2)3+…+2n×(
1
2)n+1，②
①-②，得：
1
2Sn=1+
1
2+
1
22+…+
1
2n−1]-[n
2n
=
1−
点评：
本题考点： 数列与函数的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；等比数列的性质．
考点点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．
1年前
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