Question

设α,β是方程x的平方-（2m+1）x+m的平方+1=0的两个实根,求α的平方+β的平方的最小值

Answer 1

判别式≥0

(2m+1)^2 - 4(m^2+1) ≥0

4m-3≥0

m≥3/4

α,β是方程x的平方-（2m+1）x+m的平方+1=0的两个实根

根据韦达定理：

α+β = 2m+1

αβ = m^2+1

α^2+β^2 = (α+β)^2-2αβ = (2m+1)^2 - 2(m^2+1) = 2m^2+4m-1=2(m+1)^2-3

当m＞-1时,α^2+β^2 = 2(m+1)^2-3单调增

m≥3/4

∴α^2+β^2最小值 = 2(3/4+1)^2-3 = 2*(7/4)^2-3 = 25/8