你式中的a应该是角A的对边,b是角B的对边吧.
atanA+btanB=(a+b)tan((A+B)/2)
左边展开,右边tan半角公式
=>a(sinA/cosA)+b(sinB/cosB)=(a+b)((1-cos(A+B))/(1+cos(A+B)))^0.5 (A^0.5就是根号A）
左边通分,右边分母有理化
=>(asinAcosB+bcosAsinB)/(cosAcosB)=(a+b)(sin(A+B)/(1+cos(A+B)))
左边不变,右边和角公式反变换
=>(asinAcosB+bcosAsinB)/(cosAcosB)=(a+b)((sinAcosB+cosAsinB))/(1+cosAcosB-sinAsinB))
两边同乘两个分母的乘积并展开
=>asinAcosB+bcosAsinB+[asinAconAcosBcosB]+[bcosAcosAsinBcosB]-asinAsinAcosBsinB-bsinAcosAsinBsinB=[asinAconAcosBcosB]+bsinAcosAcosBcosB+acosAcosAsinBcosB+[bcosAcosAsinBcosB]
消去上式中[]的项,将带“-”号的项移到等号另外一端变号
=>asinAcosB+bcosAsinB=asinAsinAcosBsinB+bsinAcosAsinBsinB+bsinAcosAcosBcosB+acosAcosAsinBcos
等号右边提取公因式
=>asinAcosB+bcosAsinB=asinBcosB(sinAsinA+cosAcosA)+bsinAcosA(sinBsinB+cosBcosB)
()里为1,消去,将系数是a和b的项分别合并
=>acosB(sinA-sinB)=bcosA(sinA-sinB)
解得：
sinA=sinB => A=B => △ABC是以C为顶角的等腰三角形
或acosB=bcosA =>角C的高线平分c => △ABC是以C为顶角的等腰三角形