Question

已知数列an的前四项和为sn、且对任意n属于自然数、有n an sn成等差数列（1）bn=an+1 求证bn是等比数列

Answer 1

因为Sn为an的前四项和,是一个固定值,所以,记为x

则n,an,x等差对任意n有效,那么n+x=2*an对任意n有效an=n/2+(a1+a2+a3+a4)/2

an是一个等差数列,公差为1/2,an=n/2+2*a1+3/2,a1=2+2*a1,a1=-2

an=n/2-5/2

bn=an+1=n/2-3/2

明显是一个等差数列

所以题目写的有问题,应该是前an的n项和为sn

那么

2*an=n+Sn

2*a(n+1)=n+1+S(n+1)=n+1+Sn+a(n+1)=2*an+1+a(n+1)

a(n+1)=2*an+1

记a(n+1)+t=2(an+t),解得t=1

即a(n+1)+1=2[an+1]

an+1是一个等比数列即bn是等比数列

2、

n=1时,满足

2*a1=1+S1=1+a1,得a1=1

an+1=(a1+1)*2^(n-1)=2^n 其中^表示次方数,^2表示平方

an=2^n -1

Tn=S(an=2^n)-S(an=1)=2^(n+1)-1-n

(Tn+n+2)/(T2n+2n+2)=[2^(n+1)+1]/[2^(2n+1)+1]

即

7*[2^(n+1)+1]7,n>=3

[2^(2n+1)+1]