Question

（2013•来宾）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，∠BAC=∠CAD，P是线段CD延长线上一点，且∠PAD=∠ABD

Answer 1

解题思路：（1）由圆周角定理可得∠BDC=∠BAC，再由∠BAC=∠CAD，可判断△BCD的形状；

（2）连接OA、OD，则可得∠AOD=180°-2∠OAD，再由∠AOD=2∠ABD=2∠PAD，可得∠PAD=90°-∠OAD，从而可得OA⊥AP，判断出结论．

（3）应用切割线定理可得AP²=PD×PC，然后提取公因式DP后，可得出等式．

（1）∵∠BAC=∠CAD，

∴

BC=

CD，

∴∠BDC=∠CBD，

∴△BCD是等腰三角形．

（2）连接OA、OD，

则∠AOD=180°-2∠OAD，

∵∠AOD=2∠ABD=2∠PAD，

∴∠PAD=90°-∠OAD，

∴∠PAD+∠OAD=90°，

∴OA⊥AP，

∴PA是⊙O的切线．

（3）∵PA是⊙O的切线，

∴AP²=PD×PC，

∴AP²-DP²=PD×PC-DP²=DP（PC-DP）=DP×CD，

又∵BC=CD，

∴AP²-DP²=DP•BC．

点评：

本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、圆周角定理及等腰三角形的判定，解答本题的关键是熟练有关圆的几个性质及斜线的判定定理，注意直接证明行不通的时候，要学会改变思路，将要证明的等式变形．