Question

设三阶方阵A的特征值为q1=1 q2=2 q3=3,对应的特征向量依次为a1=(1,1,1)^T a2=(1,2,4)^

Answer 1

设 B=k1*a1+k2*a2+k3*a3 ,

则 1=k1+k2+k3 ,1=k1+2k2+3k3 ,3=k1+4k2+9k3 ,

解得 k1=2 ,k2= -2 ,k3=1 ,

所以 B=2a1-2a2+a3 .

由于 Aa1=a1 ,Aa2=2a2 ,Aa3=3a3 ,

因此 A^n*a1=a1 ,A^n*a2=2^n*a2,A^n*a3=3^n*a3 ,

所以 A^n*B=A^n*(a1-2a2+a3)=A^n*a1-2A^n*a2+A^n*a3

=a1-2^(n+1)*a2+3^n*a3

=(1-2^(n+1)+3^n ,1-2^(n+2)+3^(n+1) ,1-2^(n+3)+3^(n+2)）^T .