Question

设函数f(x)对任意实数满足等式f(2x)=f(x),且f(x)在x=0处连续,证明f(x)必为常数

Answer 1

对任一x,

考虑序列

x,x/2,...,x/2^n,.

此序列 趋于0,且 f(x)=f(x/2)=...=f(x/2^n)=...,因为f(x)在x=0处连续,

所以 f(0)=lim(n-->无穷大）f(x/2^n) =lim(n-->无穷大） f(x)=f(x)

即 f(x)=f(0) 为常数