Question

高二立体几何 P为△ABC外一点,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是多少

Answer 1

∵△APB、BPC、CPA都是直角边为1的等腰直角三角形,所以AB=BC=CA=√2,

△ABC是等边三角形.取AB的中点D,连接PD和CD,那么AB⊥PD,AB⊥CD,

则AB⊥平面PDC,平面ABC⊥平面PDC.

点P到平面ABC的距离PH必在平面PDC内,点H位于DC上,PH是△PDC的高.

∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB,PC⊥PD,△PDC是直角三角形.

在△PAB中,PD=√2/2,在△ABC中,CD=√2×√3/2=√6/2,

在△PDC中,PC=1,高PH=√2/2×1÷√6/2=1/√3=√3/3