（1）∵函数f（x）=
1
3x3−
1
2ax2+(a2−13) x+1
∴f′（x）=x2-ax+a2-13，∵f（x）在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数．
∴f′（x）=x2-ax+a2-13≤0在区间（6，+∞）上恒成立，
f′（x）=x2-ax+a2-13≥0在区间（6，+∞）上恒成立，
由f′（x）=x2-ax+a2-13开口向上，
∴只需
f′(1)＝1−a+a213≤0
f′(4)＝16−4a+ a2−13≤0
f′(6)＝36−6a+a2−13≤0]
∴
−3≤a≤4
1≤a≤3
a∈R
∴a∈[1，3]
∴a的取值范围为[1，3]．
（2）∵a=2，f（x）=[1/3x3−x2−9x+1，
∴f′（x）=x2-2x-9，
∴令f′（x）=x2-2x-9≥0即x≤1-
10]或x≥1+
10，
∴f（x）的增区间为（-∞，1-