Question

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点．

Answer 1

解题思路：（I）证明AC⊥BD，且AC⊥DD₁，即可证明AC⊥平面BDD₁，从而证明AC⊥BD₁；

（ II）如图所示，证明OE∥BD₁，即可证明BD₁∥平面ACE．

（I）证明：在正方体ABCD中，连结BD，

∴AC⊥BD，

又∵DD₁⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥DD₁，

又BD∩DD₁=D，

∴AC⊥平面BDD₁；

又∵BD₁⊂平面BDD₁，

∴AC⊥BD₁；如图所示；

（ II）证明：设BD∩AC=O，连结OE，

在△BDD₁中，O、E分别为BD、DD₁的中点，

∴OE∥BD₁；

又∵OE⊂平面ACE，且BD₁⊄平面ACE，

∴BD₁∥平面ACE．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查了空间中的垂直与平行关系的证明问题，解题时应结合图形，弄清空间中的平行与垂直的条件与结论是什么，是中档题目．