Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的焦距是2，离心率是0.5

Answer 1

解题思路：（1）由题设求出c，结合离心率求出a，利用b²=a²-c²求出b²，则椭圆方程可求；

（2）写出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，由弦长公式得答案．

（1）由2c=2，得c=1，又e＝

c

a＝0.5，所以a=2．

则b²=a²-c²=4-1=3．

所以椭圆的方程为

x2

4+

y2

3＝1；

（2）过A（1，2），倾斜角为45⁰的直线l的斜率为1，方程为y-2=1×（x-1），

即y=x+1．

联立

y＝x+1

x2

4+

y2

3＝1，得7x²+8x-8=0．

设M（x₁，x₂），N（x₂，y₂）．

x1+x2＝−

8

7，x1x2＝−

8

7，

所以|MN|=

1+k2|x1−x2|＝

2

(x1+x2)2−4x1x2=

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查了椭圆方程的求法，考查了一元二次方程根与系数关系，训练了弦长公式，是中档题．