Question

设函数f（x）=-x3-2mx2-m2x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行．

Answer 1

解题思路：（1）求出函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m的导数，在x=2处的导函数值，就是切线的斜率，然后求解m的值．

（2）利用导数判断函数的闭区间上的单调性，然后求解函数的最小值．

（1）∵f'（x）=-3x²-4mx-m²，所以f'（2）=-12-8m-m²=-5，

解得m=-1或m=-7（舍），即m=-1（3分）

（2）由f'（x）=-3x²+4x-1=0，解得x₁=1，x₂=[1/3]，

∴函数f（x）在区间[0，1]的最小值为f（[1/3]）=-（[1/3]）³+2×（[1/3]）²-[1/3]+2=[50/27]．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．

考点点评： 本题主要考查函数的导数与切线的斜率，利用导数求闭区间上函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．