Question

（2014•闵行区二模）已知曲线C的方程为y2=4x，过原点作斜率为1的直线和曲线C相交，另一个交点记为P1，过P1作斜

Answer 1

解题思路：（1）利用曲线的相交关系，联立方程组求解；

（2）由（1）得出y_2n-1-y_2n-3=

−4

(

1

4

)

n−2

（n≥2），再求通项公式，利用极限思想求出接近的点坐标；

（3）由等比数列的求和公式求得S_n，将问题转化为比较4ⁿ与3n+10的大小，由二项式定理和放缩法，得4ⁿ=（1+3）ⁿ=1+

C

1

n

•3+

C

2

n

•

3

2

+

…+

C

n

n

•

3

n

＞1+3n+9=3n+10（n≥3），进而验证n=1，2时也符合，最后综合原式得证．

（1）由题意得，y₁=4

设点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*），则设点P_n+1（x_n+1，y_n+1），

由题意得

yn2＝4xn

yn+12＝4xn+1

yn+1−yn

xn+1−xn＝2n，得yn+1+yn＝4•(

1

2)n…（4分）

（2）分别用2n-3、2n-2代换上式中的n得

y2n−2+y2n−3＝4•(

1

2)2n−3

y2n−1+y2n−2＝4•(

1

2)2n−2，

得，y2n−1−y2n−3＝−2•(

1

2)2n−3＝−4(

1

4)n−2 （n≥2）…（6分）

又y₁=4，∴y2n−1＝

8

3+

4

3(

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题主要考查了直线与曲线的交点问题的处理方法，以及数列求和的方法，放缩法证明不等式的应用，二项式定理，考查了学生综合分析问题的能力．