Question

f(x)在X0处二阶可导,证lim(h->0)[ f(x-h0)+f(x0+h)-2f(x0)]/h^2=f``(x0)

Answer 1

极限是不能随便的写成2个极限和或差的,比如最简单的 (tanx - sinx) / x^3 = 1/2 这个极限如果写成2个极限差就得到0-0=0的错误答案,这样直接分成2个之差会直接导致高阶无穷小的丢失而造成结果的错误.

这一个可以用f(x)在x0处的泰勒展开式

f(x0+h) = f(x0) + f'(x0) h + f''(x0) h^2/2 + ...

f(x0-h) = f(x0) - f(x0) h + f''(x0) h^2 / 2 + .

所以f(x0+h) + f(x0-h) - 2f(x0) = f''(x0) h^2 + O(h^3)

所以[ f(x-h0)+f(x0+h)-2f(x0)]/h^2 = ( f''(x0) h^2 + O(h^3) ) / h^2 = f'' (x0)