Question

如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得

Answer 1

（1）

连接AC角BD于O,设BM=x AC=a

AM=CM=√[a^2/4+(a/2-x)^2]

∴AM+BM+CM = √[a^2+(a-2x)^2]+ x = y

即：√[a^2+(a-2x)^2] = y - x

2a^2+4x^2-4ax = y^2+x^2-2xy

3x^2 -2(2a-y)x +2a^2-y^2 = 0

△=4(2a-y)^2-12(2a^2-y^2) = 0

4a^2-4ay+y^2=6a^2-3y^2

y^2-ay-a^2/2 = 0

y=(1+√3)a/2 或 y=(1-√3)a/2 (舍去)

即：当x=(2a-y)/3 = (3-√3)a/6 时,AM+BM+CM的值最小,为：(1+√3)a/2