Question

线性代数,向量组证明,用秩.已知n维向量α1,α2,α3线性无关.若β1,β2,β3可由α1,α2,α3线性表示,即(β

Answer 1

记矩阵A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3),则B=AC,所以R(B)≤R(A),R(B)≤R(C).

若|C|≠0,则C可逆,所以A=B(C逆),所以R(A)≤R(B).所以R(B)=R(A)=3,所以向量组β1,β2,β3线性无关.

若向量组β1,β2,β3线性无关,则R(B)=3,因为R(C)≥R(B),所以R(C)≥3.又R(C)≤3,所以R(C)=3,所以|C|≠0.

所以|C|≠0是向量组β1,β2,β3线性无关的充要条件.