已知a>0,b>0,且1/a+1/b=1.求证:(a+b)的n次方-a的n次方-b的n次方≥2的2

1个回答

  • a,b大于0,且1/a +1/b =1,

    ∴a+b=ab=4.

    下面用数学归纳法.

    n=1时左=0=右.

    n=2时左=(a+b)^2-a^2-b^2=2ab>=8=右.

    n=3时左=(a+b)^3-a^3-b^3=3ab(a+b)>=48=右.

    假设n=3)时不等式都成立,那么

    (a+b)^(k+1)-a^(k+1)-b^(k+1)

    =(a+b)[(a+b)^k-a^k-b^k]+ab[a^(k-1)+b^(k-1)]

    >=4[2^(2k)-2^(k+1)]+8[(a+b)/2]^(k-1)

    >=2^[2(k+1)]-2^(k+3)+8*2^(k-1)

    =2^[2(k+1)]-2^[(k+1)+1],

    其中a^(k-1)+b^(k-1)>=2[(a+b)/2]^(k-1)是利用y=x^n(x>0,n>=2)是下凸函数.

    ∴n=k+1时不等式也成立.

    ∴对任意的n∈N+,不等式都成立