Question

线性代数题目1、设方阵A满足等式A^k=0（k为某个自然数,此时称A为幂零矩阵）.试证明：〖(E-A)〗^(-1)=E+

Answer 1

1、只要证明(E-A)•(E+A+A^2+…+A^(k-1) )= E

即可说明〖(E-A)〗^(-1)=E+A+A^2+…+A^(k-1)

而对(E-A)•(E+A+A^2+…+A^(k-1) )用分配律,再用条件即得E

2、只要证明A、A+3E、A-2E的行列式都不等于0即可

由A^2+A-7E=0得A^2+A=7E,即A(A+ E )=7E,两边取行列式,

右边的行列式值为7不等于0,左边的行列式为A的行列式与A+ E的行列式的乘积,所以知道A的行列式不等于0,故A可逆

同理,由A^2+A-7E=0得A^2+A-6E= E,即(A+3E)(A-2E)=E,两边取行列式,

右边的行列式值为1不等于0,左边的行列式为A+3E的行列式与A-2E的行列式的乘积,

所以知道A+3E的行列式与A-2E的行列式都不等于0,故二者都可逆

3、根据正交矩阵的定义,只要证明A^T •A= E即可

而A^T •A=(E-2aa^T ) ^T•(E-2aa^T )

根据转置的算律,(E-2aa^T ) ^T =(E-2aa^T )

从而A^T•A= (E-2aa^T )•(E-2aa^T )=E-4aa^T+4(aa^T )(aa^T )

注意用结合律,(aa^T )(aa^T )=a(a^Ta)a^T=aa^T (条件a^Ta=1)

从而A^T•A= E-4aa^T+4(aa^T )= E 证毕