Question

四边形ABCD内接于圆O,且AC⊥BD,AC与BD交于E,求证：AB^2+CD^2=BC^2+AD^2=定值

Answer 1

这个定值就是直径的平方

做直径CF,连接AF,BF,设⊙O 的半径为R

∵CE为⊙O的直径

∴∠EAC=90°∠CBF=90°

∵AC⊥BD

∴EA‖BD

∴弧AD=弧BE

∴AD=BE

在Rt△BFC中,BC^2+BF^2=CF^2=4R^2

∴BC^2+AD^2=CF^2=4R^2

同理可证：AB^2+CD^2=4R^2