解题思路:(1)a=2,b=1时求出f′(x)=0的根,根据导数的符号变化规律可求得极值点,进而得到极值;(2)a=1时,g(x)≥1可化为b≤x2−2x−xex,记h(x)=x2−2x−xex(x>0),从而问题转化为b≤h(x)min,利用导数即可求得最小值;
(1)当a=2,b=1时,f(x)=[2x+1/x•ex,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
∴f′(x)=−
1
x2•ex+
2x+1
x•ex=
(2x−1)(x+1)
x2•ex.
令f′(x)=0,得x=-1或
1
2],
由f′(x)>0,得x<-1或x>[1/2];由f′(x)<0,得-1<x<0或0<x<[1/2].
∴x=-1时f(x)取得极大值f(-1)=[1/e],x=[1/2]时f(x)取得极小值f([1/2])=4
e;
(2)∵g(x)=a(x-1)ex-f(x)=(ax-[b/x]-2a)ex,
当a=1时,g(x)=(x-[b/x]-2)ex,
∵g(x)≥1在(0,+∞)上恒成立,
∴b≤x2−2x−
x
ex在(0,+∞)上恒成立,
记h(x)=x2−2x−
x
ex(x>0),则h′(x)=
(x−1)(2ex+1)
ex,
当0<x<1时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数;
当x>1时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数.
∴h(x)min=h(1)=-1-[1/e].
∴b≤−1−
1
e,即b的最大值为-1-[1/e].
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 该题考查利用导数研究函数的极值、最值,考查函数恒成立,考查转化思想,恒成立问题往往转化为函数最值解决.