已知函数f(x)=[ax+b/x]ex,a,b∈R,且a>0.

1个回答

  • 解题思路:(1)a=2,b=1时求出f′(x)=0的根,根据导数的符号变化规律可求得极值点,进而得到极值;(2)a=1时,g(x)≥1可化为b≤x2−2x−xex,记h(x)=x2−2x−xex(x>0),从而问题转化为b≤h(x)min,利用导数即可求得最小值;

    (1)当a=2,b=1时,f(x)=[2x+1/x•ex,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

    ∴f′(x)=−

    1

    x2•ex+

    2x+1

    x•ex=

    (2x−1)(x+1)

    x2•ex.

    令f′(x)=0,得x=-1或

    1

    2],

    由f′(x)>0,得x<-1或x>[1/2];由f′(x)<0,得-1<x<0或0<x<[1/2].

    ∴x=-1时f(x)取得极大值f(-1)=[1/e],x=[1/2]时f(x)取得极小值f([1/2])=4

    e;

    (2)∵g(x)=a(x-1)ex-f(x)=(ax-[b/x]-2a)ex

    当a=1时,g(x)=(x-[b/x]-2)ex

    ∵g(x)≥1在(0,+∞)上恒成立,

    ∴b≤x2−2x−

    x

    ex在(0,+∞)上恒成立,

    记h(x)=x2−2x−

    x

    ex(x>0),则h′(x)=

    (x−1)(2ex+1)

    ex,

    当0<x<1时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数;

    当x>1时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数.

    ∴h(x)min=h(1)=-1-[1/e].

    ∴b≤−1−

    1

    e,即b的最大值为-1-[1/e].

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的极值.

    考点点评: 该题考查利用导数研究函数的极值、最值,考查函数恒成立,考查转化思想,恒成立问题往往转化为函数最值解决.