解题思路：（1）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．
（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．
（1）：延长PO，交AB于Q，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
则 OA＝
AQ
cosθ＝
5
cosθ，故 OB＝
5
cosθ，又OP=5-5tanθ，
所以 y=OA+OB+OP=y＝
10−5sinθ
cosθ+5(0≤θ≤
π
4)；
（2）y′＝
−5cosθ•cosθ−(10−5sinθ)(−sinθ)
cos2θ＝
5(2sinθ−1)
cos2θ，令y′=0得sin θ＝
1
2，因为 0＜θ＜
π
4，所以θ=[π/6]，当 θ∈(0，
π
6)时，y′＜0，y是θ的减函数；当 θ∈(
π
6，
π
4)时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=[π/6]时，ymin＝5+5
3．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边
5
3
3km处．
点评：
本题考点： 已知三角函数模型的应用问题；在实际问题中建立三角函数模型．
考点点评： 本小题主要考查函数最值的应用．
①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．
②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．