Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．

Answer 1

解题思路：问题（1）只需通过f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）建立一个关于a的不等式即可；

问题（2）属于函数的封闭运算，注意具体函数与抽象式子之间的联系与运用．

(1)f(x)＝lg

a

x2+1∈M⇒lg

a

(x+1)2+1＝lg

a

x2+1+lg

a

2

⇒（a-2）x²+2ax+2（a-1）=0，

当a=2时，x＝−

1

2，当a≠2时，由△≥0 （2分）

得a2−6a+4≤0⇒a∈[3−

5，2)∪(2，3+

5]．

故a∈[3−

5，3+

5]． （8分）

(2)∵f(x0+1)−f(x0)−f(1)＝2x0+1+(x0+1)2−2x0−x02−3

=2x0+2(x0−1)＝2[2x0−1+(x0−1)]，

又∵函数y=2^x+x，在x=0时，y=1；在x=-1时，y=−

1

2．

∴函数y=2^x+x图象与x轴有交点，不妨设交点的横坐标为a，

则2a+a＝0⇒2x0−1+(x0−1)＝0，其中x₀=a+1，（14分）

∴f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），即f（x）=2^x+x²∈M．&n

点评：

本题考点： 函数的值域；集合的包含关系判断及应用．

考点点评： 注意利用对数的运算公式：①logaM+logaN=logaMN②logaM −logaN ＝logaMN