Question

已知椭圆的中心在原点,其左焦点F1与抛物线y的平方=-4x的焦点重合,过F1的直线L与椭圆交于A,B两点,与抛物线交于C

Answer 1

1、由于抛物线y＾2=-4x的焦点坐标为（-1,0）,故c=1(对于椭圆而言）

当直线L与x轴垂直时,｜CD｜:｜AB｜=2√2

此时|CD|=4,故|AB|=√2

又|AB|=2b＾2/a=√2

a＾2-b＾2=1,解得a=√2,b=1

故椭圆的方程为x＾2/2+y＾2=1

2、由于圆过点O,F1,故圆心的横坐标为-1/2,

又由于圆与椭圆的左准线相切,故圆的半径为-1/2+2=3/2

设圆心的纵坐标为y,则有

y＾2+1/4=9/4,解得y=√2,或y=-√2,

从而圆的方程为

（x+1/2)＾2+(y-√2)＾2=9/4

(x+1/2)＾2+(y+√2)＾2=9/4

3、设直线的方程为x=ky-1,A(x1,y1) B(x2,y2)

联立椭圆,消去x,得

（k＾2+2)y＾2-2ky-1=0,

则y1+y2=2k/（k＾2+2), y1y2=-1/（k＾2+2)

由于向量AF2点乘向量F2B=（x1+x2)-x1x2-y1y2-1

x1+x2=k(y1+y2)-2=-4/（k＾2+2)

x1x2=(ky1-1)(ky2-1)=(2-2k＾2)/（k＾2+2)

代入得AF2*F2B=-4/（k＾2+2)-(2-2k＾2)/（k＾2+2)+1/（k＾2+2)-1

=(2k＾2-5)/（k＾2+2)-1

=1-9/（k＾2+2)

显然,当k=0时,取到最小值,为1-9/2=-7/2

当k=∞ ,即直线为x轴时,取到最大值,为1

（也就是两种特殊的情况下取到最值）