解题思路:将所要证明的结论变形为:
β
∫
α
0
f(x)dx>α
∫
β
α
f(x)dx
,容易想到用积分中值定理证明.
证明:
要证:
∫α0f(x)dx>
α
β
∫βαf(x)dx,0<α<β≤1,
只需证:
1
α
∫α0f(x)dx>
1
β
∫βαf(x)dx
由积分中值定理:
∫α0f(x)dx=αf(ξ1),ξ1∈[0,α],
∫βαf(x)dx=(β−α)f(ξ2),ξ2∈[α,β],
而:f(x)是[0,1]上单调减少的函数,
∴f(ξ1)>f(ξ2)
∴f(ξ1)=
1
α•αf(ξ1)>
1
β•βf(ξ2)>
1
β•(β−α)f(ξ2)(?)
即
1
α
∫α0f(x)dx>
1
β
∫βαf(x)dx
∴
∫α0f(x)dx>
α
β
∫βαf(x)dx
结论成立.
点评:
本题考点: 二重积分中值定理.
考点点评: 将不等式稍作变形,就可以看出应用积分中值定理.二重积分和三重积分也有相应的积分中值定理,也要熟悉.