设f(x)在[0,1]连续,且单调减少,f(x)>0,证明:对于满足0<α<β<1的任何α,β,有β∫α0f(x)dx>

1个回答

  • 解题思路:将所要证明的结论变形为:

    β

    α

    0

    f(x)dx>α

    β

    α

    f(x)dx

    ,容易想到用积分中值定理证明.

    证明:

    要证:

    ∫α0f(x)dx>

    α

    β

    ∫βαf(x)dx,0<α<β≤1,

    只需证:

    1

    α

    ∫α0f(x)dx>

    1

    β

    ∫βαf(x)dx

    由积分中值定理:

    ∫α0f(x)dx=αf(ξ1),ξ1∈[0,α],

    ∫βαf(x)dx=(β−α)f(ξ2),ξ2∈[α,β],

    而:f(x)是[0,1]上单调减少的函数,

    ∴f(ξ1)>f(ξ2

    ∴f(ξ1)=

    1

    α•αf(ξ1)>

    1

    β•βf(ξ2)>

    1

    β•(β−α)f(ξ2)(?)

    1

    α

    ∫α0f(x)dx>

    1

    β

    ∫βαf(x)dx

    ∫α0f(x)dx>

    α

    β

    ∫βαf(x)dx

    结论成立.

    点评:

    本题考点: 二重积分中值定理.

    考点点评: 将不等式稍作变形,就可以看出应用积分中值定理.二重积分和三重积分也有相应的积分中值定理,也要熟悉.