Question

（2013•杭州一模）设在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的定义及通项公式即可得出；

（Ⅱ）利用等比数列的前n项和公式、函数的单调性即可得出．

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q（q＞0）．由题意，

得

2(1+d)＝2+2q

(2q)2＝(1+d)(3+2d)，解得d=q=3．

∴a_n=3n-2，bn＝2×3n−1．

（Ⅱ）∵c_n=abn=3b_n-2=3×2×3^n-1-2=2×3ⁿ-2．

∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=2×（3¹+3²+…+3ⁿ）-2n

=2×

3(3n−1)

3−1−2n

=3ⁿ⁺¹-3-2n．

∴

S2n+4n

Sn+2n=

32n+1−3

3n+1−3=3ⁿ+1．

∵

S2n+4n

Sn+2n＜bn+1+t恒成立，∴3ⁿ+1＜2×3ⁿ+t恒成立，即t＞（-3ⁿ+1）_max，n∈N^*．

由于函数y=-3^x+1在（0，+∞）上单调递减，

∴-3ⁿ+1≤-3¹+1=-2，

故t＞-2．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 熟练掌握等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及函数的单调性是解题的关键．