解题思路:(1)根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系,易证△ABD∽△DCE.
(2)由△ABD∽△DCE,对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式,根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值.
(3)当△ADE是等腰三角形时,因为三角形的腰和底不明确,所以应分AD=DE,AE=DE,AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可.
(1)证明:
∵∠BAC=90°,AB=AC
∴∠B=∠C=∠ADE=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE;
(2)由(1)得△ABD∽△DCE,
∴[BD/EC]=[AB/CD]
∵∠BAC=90°,AB=AC=1,
∴BC=
2,DC=
2-x,EC=1-y,
∴[x/1−y]=
1
2−x,y=x2-
2x+1=(x-
2
2)2+[1/2],
当x=
2
2时,y有最小值,最小值为[1/2];
(3)当AD=DE时,△ABD≌△CDE,
∴BD=CE,
∴x=1-y,即
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;函数自变量的取值范围;二次函数的应用;等腰三角形的判定.
考点点评: 此题综合考查了二次函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质,但难度适中,是一道好题.