如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点

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  • 解题思路:(1)根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系,易证△ABD∽△DCE.

    (2)由△ABD∽△DCE,对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式,根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值.

    (3)当△ADE是等腰三角形时,因为三角形的腰和底不明确,所以应分AD=DE,AE=DE,AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可.

    (1)证明:

    ∵∠BAC=90°,AB=AC

    ∴∠B=∠C=∠ADE=45°

    ∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE

    ∴∠BAD=∠CDE

    ∴△ABD∽△DCE;

    (2)由(1)得△ABD∽△DCE,

    ∴[BD/EC]=[AB/CD]

    ∵∠BAC=90°,AB=AC=1,

    ∴BC=

    2,DC=

    2-x,EC=1-y,

    ∴[x/1−y]=

    1

    2−x,y=x2-

    2x+1=(x-

    2

    2)2+[1/2],

    当x=

    2

    2时,y有最小值,最小值为[1/2];

    (3)当AD=DE时,△ABD≌△CDE,

    ∴BD=CE,

    ∴x=1-y,即

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;函数自变量的取值范围;二次函数的应用;等腰三角形的判定.

    考点点评: 此题综合考查了二次函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质,但难度适中,是一道好题.