Question

设f（x）是定义在R上的函数，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex+1的解集

Answer 1

解题思路：本题构造新函数g（x）=e^xf（x）-e^x，利用条件f（x）+f’（x）＞1，得到g′（x）＞0，得到函数g（x）单调递增，再利用f（0）=2，得到函数g（x）过定点（0，1），解不等式e^xf（x）＞e^x+1，即研究g（x）＞1，结合函数的图象，得到x的取值范围，即本题结论．

令g（x）=e^xf（x）-e^x，

则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x，

∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，

∴g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，

∴函数y=g（x）在R上单调递增．

∵f（0）=2，

∴g（0）=1．

∴当x＜0时，g（x）＜1；

当x＞0时，g（x）＞1．

∵e^xf（x）＞e^x+1，

∴e^xf（x）-e^x＞1，

即g（x）＞1，

∴x＞0．

故选A．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了函数的导数与单调性，还考查了构造法思想，本题有一定的难度，计算量适中，属于中档题．