如图,把正方体用一个与它的一面平行的平面切开,分成A、B两个长方体,当A、B的表面积比是1:2时,用最简单的整数比表示A

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  • 解题思路:要求这两个长方体的体积之比,把正方体的一个面看作A、B两个小长方体的底面,又因为长方体的体积=底面积×高,因为A和B的底面积相等都等于正方体的一个面的面积,所以它们的高的比就等于体积之比,据此设A的高为x、B的高为y,所以原正方体的棱长就是x+y;根据长方体的表面积公式可得:A的表面积是2(x+y)(x+y)+4x(x+y);B的表面积是2(x+y)(x+y)+4y(x+y);据此根据表面积之比是1:2,可得比例式:2(x+y)(x+y)+4x(x+y):2(x+y)(x+y)+4y(x+y)=1:2;根据比例的基本性质可得2[2(x+y)(x+y)+4x(x+y)]=2(x+y)(x+y)+4y(x+y),据此再利用等式的性质进行整理得出x与y的比即可;

    设A的高为x、B的高为y,所以原正方体的棱长就是x+y;

    根据题干可得比例式:

    2(x+y)(x+y)+4x(x+y)

    2(x+y)(x+y)+4y(x+y)=[1/2];

    2[2(x+y)(x+y)+4x(x+y)]=2(x+y)(x+y)+4y(x+y),

    2(x+y)(x+y)+4x(x+y)=(x+y)(x+y)+2y(x+y),

    2(x+y)+4x=x+y+2y,

    2x+2y+4x=x+3y,

    5x=y,

    [x/y]=[1/5],

    因为长方体的底面积一定时,高的比就等于体积之比,

    所以A和B的体积之比是1:5,

    答:A和B的体积比是1:5.

    故答案为:1:5.

    点评:

    本题考点: 长方体和正方体的体积;比的意义.

    考点点评: 此题主要考查长方体的表面积与体积公式的灵活应用,利用等式的性质和比例的基本性质将比例式化简求出x、y的比过程较复杂.本题关键是明确:长方体的底面积一定时,高的比就等于体积之比.