解题思路：要使取得数最多，必须使除数尽量小，因为自然数按被2除得的余数可以分成2类，即余数是：0、1，这些数中任意两个数的差都能整除它们的和，不合要求；那么再看3，自然数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，然后再把余数分为1与0和2两类讨论即可得出答案．
显然，自然数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，被3除余1的所有数，任两个数相加的和被3除余2，差能被3整除，符合要求，对被3除余2的所有数也如此，即2+2=4，4÷3还是余1，在1到1000中，被3除余1的有3...
点评：
本题考点： 数的整除特征．
考点点评： 本题灵活的考查了同余定理，关键是确定除数．