解题思路:(1)由已知知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,由此利用导数性质能求出函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.
(2)由已知得a≤2lnx+x+[3/x],x∈[[1/e],e],设h(x)=2lnx+x+[3/x],x∈[[1/e],e],则
h
′
(x)=
(x+3)(x−1)
x
2
,x∈[[1/e],e],由此利用导数性质能求出实数a的取值
(1)由已知知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,
当x∈(0,[1/e]),f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈([1/e,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增,
①0<t<t+2<
1
e],没有最小值;
②0<t<[1/e]<t+2,即0<t<[1/e]时,f(x)min=f([1/e])=-[1/e];
③[1/e≤t<t+2,即t≥
1
e]时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt.
∴f(x)min=
−
1
e,0<t<
1
e
tlnt,t≥
1
e.
(2)∵不等式2f(x0)≥g(x0)成立,即2x0lnx0≥-x02+ax0−3,
∴a≤2lnx+x+[3/x],x∈[[1/e],e],
设h(x)=2lnx+x+[3/x],x∈[[1/e],e],
则h′(x)=
(x+3)(x−1)
x2,x∈[[1/e],e],
①x∈[[1/e],1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,
②x∈(1,e]时,h′(x)>0,h(x)单调递增,
∴h(x)min=h(1)=4,对一切x0∈[
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题重点考查利用导数研究函数的性质,利用函数的性质解决不等式、方程问题.重点考查学生的代数推理论证能力.解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.