已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.

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  • 解题思路:(1)由已知知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,由此利用导数性质能求出函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.

    (2)由已知得a≤2lnx+x+[3/x],x∈[[1/e],e],设h(x)=2lnx+x+[3/x],x∈[[1/e],e],则

    h

    (x)=

    (x+3)(x−1)

    x

    2

    ,x∈[[1/e],e],由此利用导数性质能求出实数a的取值

    (1)由已知知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,

    当x∈(0,[1/e]),f′(x)<0,f(x)单调递减,

    当x∈([1/e,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增,

    ①0<t<t+2<

    1

    e],没有最小值;

    ②0<t<[1/e]<t+2,即0<t<[1/e]时,f(x)min=f([1/e])=-[1/e];

    ③[1/e≤t<t+2,即t≥

    1

    e]时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt.

    ∴f(x)min=

    1

    e,0<t<

    1

    e

    tlnt,t≥

    1

    e.

    (2)∵不等式2f(x0)≥g(x0)成立,即2x0lnx0≥-x02+ax0−3,

    ∴a≤2lnx+x+[3/x],x∈[[1/e],e],

    设h(x)=2lnx+x+[3/x],x∈[[1/e],e],

    则h′(x)=

    (x+3)(x−1)

    x2,x∈[[1/e],e],

    ①x∈[[1/e],1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,

    ②x∈(1,e]时,h′(x)>0,h(x)单调递增,

    ∴h(x)min=h(1)=4,对一切x0∈[

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题重点考查利用导数研究函数的性质,利用函数的性质解决不等式、方程问题.重点考查学生的代数推理论证能力.解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.