Question

在数列{an}中，an=4n-1+n，n∈N*．

Answer 1

解题思路：（1）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

（2）对任意的n∈N^*，S_n+1-4S_n=

−

1

2

(3

n

2

+n−4)

，对n分类讨论，n=1与n≥2时 即可证明．

（1）∵数列{a_n}的a_n=4^n-1+n，n∈N^*．

∴数列{a_n}的前n项和S_n=

4n−1

4−1+

n(n+1)

2=[1/3(4n−1)+

1

2(n2+n)．

（2）证明：对任意的n∈N^*，S_n+1-4S_n=

4n+1−1

3]+

(n+1)(n+2)

2-4（

1

3(4n−1)+

1

2(n2+n)）．

=−

1

2(3n2+n−4)

当n=1时，S₂=a₁+a₂=8，4S₁=8，∴S₂=4S₁；

当n≥2时，3n+4＞0，n-1＞0，∴−

1

2(3n2+n−4)＜0，即S_n+1＜4S_n．

∴不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、作差法、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．